ある多胞体 2025.06.06
この日Yahoo!知恵袋の質問に現れた多胞体。少しの変更を加えた形で紹介する。
定義
$ Kを正の定数とする。4次元空間中で次の条件を満たす点の集合として定義される多胞体$ A。
code:latex
\left\{ \begin{gather}
x, y, z, w \ge 0 \\
0 \le x+y \le K \\
0 \le y+z \le K \\
0 \le z+w \le K \\
0 \le w+x \le K \\
\end{gather} \right.
（質問はこの4次元体積を積分で求めたいというもの。）
分析
それぞれの1次不等式が定める4次元半空間の共通部分が A となる。
不等式は計12個あるが、(1)があるので(2)-(5)の「0≦」はなくしてもよい。以後はないものとする。
この時点で不等式は8個なので、 A の胞の数は高々8個とわかる。
いま、(1)(2)(4)を満たす図形を$ Bとすると、A⊂B が成り立つ。
あとは(3)と(5)によって B の胞がどのように削られるかを考えればよい。
図を書いてみたら胞の数は単に2増えて8になるっぽく、確証はないが、式の対称性からも信じられることなので、初日の暫定的成果としておく。
後日他の要素を調べたら胞しか4の倍数じゃなくて戸惑う。
基本データ
(V, E, F, C)=(7, 17, 18, 8)
胞のうち、4つはある4角錐（陽馬）、4つはある4面体（ある直方体のオーソスキーム）。 面のうち、2つは正方形、4つは直角二等辺三角形、8つはある直角三角形（縦横比 1:√2）、4つはある直角三角形（縦横比 1:√3）。
正方形面はそれぞれ x-z 平面と y-w 平面に収まっている。
辺は、正方形面の対角線以外の任意の2点間に存在する。
よって、面対角線は4本存在するが、胞対角線や体対角線はない。
書きかけ
4次元体積は$ \frac{K^4}{6}
積分で出る
画像
https://scrapbox.io/files/68579e4fe4d12dccd1e57ac5.png ← 4th View で作成。 それにしても、今どきは4次元ブームも下火なのに、こんな問題が考えられることがあるんだね〜（特大ブーメラン）
文献
原文では、不等号にイコールなし、K=π/2